Os pensamentos de Amit sobre Grades [Parte 4: Sistema de Coordenadas]

Existem três partes da grade, e nós precisamos de uma maneira para endereçar cada uma delas. Eu vou começar com simples coordenadas numéricas que corresponda aos eixos da grade. A soma F, E, V no diz quantas partes da grade compartilham as mesmas coordenadas. Se mais de uma parte possuir a mesma coordenada, utilizarei uma letra maiúscula para retirar a ambiguidade.

Grades Quadrangulares

         

Figura 1: Sistema de coordenadas da grade quadrangular: faces, bordas, e vértices

Grades quadrangulares são bem fáceis. Veja o primeiro diagrama na Figura 1 para o padrão do sistema de coordenadas para as faces. A soma F, E, V é 1, 2, 1. Isso significa que só as bordas precisarão de uma letra para retirar a ambiguidade. Para cada face, nós (arbitrariamente) atribuímos uma vértice para compartilhar sua coordenada. Eu escolhi o canto sudoeste da face. Compare o diagrama de face e o diagrama de vértice para ver como as coordenadas são relacionadas. Para cada face nós atribuímos duas bordas para dividir sua coordenada. Eu escolhi as bordas do sul e oeste e anotei as coordenadas com as letras s(Sul/ South) e w(Oeste/ West).  Compare o diagrama de face com o diagrama de bordas para ver como são relacionados. Há uma face, duas bordas, e uma vértice que compartilha a coordenada (1, 1). Isto corresponde a nossa soma F, E, V de 1, 2, 1.

Grades Hexagonais

         

Figura 2: Sistema de coordenadas da grade hexagonal: faces, bordas, e vértices

Nós criamos a grade hexagonal de uma grade quadrangular. As coordenadas da face de um hexágono podem ser as mesmas coordenadas da face do quadrado que foi transformado em hexágono. Compare a Figura 1 com a Figura 2 e você verá como a coordenada das faces são relacionadas. Para cada face nós escolhemos três bordas e dois vértices para compartilhares a mesma coordenada. Eu escolhi as bordas NW, N, e NE e as rotulei W, N, E. Eu escolhi os vértices mais a esquerda e a mais a direita e os rotulei L, R. Muitas outras atribuições são possíveis.

Grades Triangulares

         

Figura 3: Sistema de coordenadas da grade triangular: faces, bordas e vértices

Nós criamos a grade triangular de uma grade quadrangular, e nós dividimos cada quadrado distorcido em dois triângulos. Isso significa que cada coordenada de uma face quadrangular agora terá que ser duas coordenadas de faces triangulares. Eu escolhi rotulá-los L e R, como visto na Figura 3. As bordas são as mesmas daquelas dos quadrados(W e S), exceto que nós agora temos uma borda adicional, criada a partir da divisão da face quadrangular em duas, e eu rotulei esta borda de E. O triângulo extra não cria nenhum vértice adicional, logo a rotulação dos vértices permanece a mesma da rotulação da grade quadrangular.

Os pensamentos de Amit sobre Grades [Parte 3: Derivação de Grades Hexagonais e Triangulares]

Grades hexagonais e triangulares podem ser derivadas de grades quadrangulares. (Tente mudar o ângulo neste demo em Flash(inglês).) Tendo em vista que o sistema de coordenadas para quadrados é direto, a derivação nos guiará no planejamento de um sistema de coordenadas para hexágonos e triângulos. Quadrados para Hexágonos Há dois passos necessários para tornar uma grade quadrangular numa grade hexagonal. Primeiro, nós devemos compensar as colunas(ou fileiras). Segundo, nós dividimos a metade das bordas e juntamos elas no meio.

       

Figura 1: Grade Quadrangular, aproximações do resultado

Há duas maneiras simples de compensar colunas. A mais comum é compensar de uma em uma coluna(veja na primeira grade da Figura 1). Programar utilizando esta abordagem nota-se se a coluna é par ou impar e escolhe-se quando compensa-la. Uma abordagem mais simples é compensar cada coluna pela metade a mais do que a coluna anterior(veja a segunda grade da Figura 1). Programar usando essa abordagem é mais uniforme, mas o formato do mapa deixa de ser retangular, o que pode ser inconveniente. Nestas páginas trabalharei com a última abordagem; é mais fácil e também pode ser facilmente utilizada com triângulos.(Em uma futura versão desta página eu poderei cobrir as duas versões.)

Figura 2: Alargando quadrados em hexágonos

Com qualquer abordagem de compensação, o próximo passo é dividir as bordas verticais dos quadrados e dobra-las, como visto na Figura 2. Quando a dobra é reduzida de 180 graus para 120 graus, você terá hexágonos simétricos. Observe que dividindo as bordas verticais nós aumentamos o número de bordas de 4 para 6(um aumento líquido de 1 borda por face, já que as duas novas bordas são compartilhadas por duas faces). Nós também aumentamos o número de vértices de 4 para 6(mas estas vértices são compartilhadas, deixando-nos com um aumento líquido de 1 vértice), e nós deixamos o número de faces inalterado. Isto corresponde o que esperávamos da soma F, E, V indo de 1, 2, 1 para 1, 3, 2.

Quadrados para Triângulo

     

Figura 3: Deformando quadrados em losangos, então subdividindo-os

Há dois passos necessários para tornar uma grade quadrangular numa grade triangular. Primeiro, devemos deformar os quadrados, o que é similar ao que fizemos aos hexágonos, exceto que nós inclinamos as bordas ao invés de dividi-las. Isto nos da uma grade losangular(veja Figura 3), que compartilha características com a grade quadrangular. Então nós dividimos cara face losangular em dois triângulos. Dividindo cada face significa que agora nós temos o dobro de faces que tínhamos antes, nós adicionamos uma borda para cada face, e nós não adicionamos nenhuma vértice. Isto corresponde o que esperávamos da soma F, E, V indo de 1, 2, 1 para 2, 3, 1.