Os pensamentos de Amit sobre Grades [Parte 6: Transformação das Coordenadas]

Em ambos os sistemas gráficos 2D e 3D, nós temos que transformar as coordenadas do “mundo” em coordenadas da “tela” e vice versa. Com grades, nós também temos que transformar as coordenadas da “grade” em coordenadas do “mundo” e vice e versa. Transformações ocorrem em pontos. De grades para coordenadas do mundo, nós transformamos vértices e ocasionalmente os centros das faces. Do mundo para as coordenadas da grade, nós podemos ou escolher encontrar o ponto anexado da face, a borda mais próxima à um ponto, ou o vértice mais próximo à um ponto.

Quadrados

Quadrados são fáceis de se trabalhar. Se um dos lados do quadrado possui comprimento “s” e as bordas deste quadrado são alinhadas com os eixos “x” e “y”, você pode simplesmente multiplicar as coordenadas do vértice da sua grade por “s” para obter a coordenada do mundo.

Agora fazendo o contrário, nós queremos determinar qual vértice é mais próxima de um ponto no espaço do mundo. Simplesmente divida as coordenadas do mundo por “s” e arredonde para cima a float para uma interger para obter o vértice mais próximo. Se ao invés você quer determinar que face se anexa a um ponto no espaço do mundo, arredonde para baixo ao invés de para cima.

Hexágonos

Figura 1: Medidas do Hexágono

Hexágonos são só um pouco mais complicados de se trabalhar do que quadrados. Computar o centro da face é simples. Na Figura 1, há um vetor “i” e um vetor “j” indo das coordenadas hexagonais às coordenadas do mundo é uma multiplicação de matriz(bem simples):

⎛ x ⎞     ⎡ ix jx ⎤ ⎛ u ⎞
⎝ y ⎠  =  ⎣ iy jy ⎦ ⎝ v ⎠

Expandido ficaria:

x = ix * u + jx * v
y = iy * u + jy * v

O diagrama mostra que “i” é (hexagon_narrow_width, 0.5*hexagon_height) e “j” é (0, hexagon_height), então isto nos da valores para “ix”, “iY”, “jx”, “jy”. O código resultante é:

# Centro da Face
x = hexagon_narrow_width * u
y = hexagon_height * (u*0.5 + v)

Computar vértices também é algo um tanto simples. No resto dos artigos eu rotulei as vértices do hexágono de “L” ou “R”. Esses dois vértices ocorrem da metade da largura do hexágono para a esquerda ou direita do centro da face do hexágono(veja a Figura 1), então tudo o que nós temos que fazer é somar ou subtrair hexagon_wide_width * 0.5:

# Se x,y são o centro da face, nós podemos ajustar para encontrar um vértice
case side
  when :L
    x -= hexagon_wide_width * 0.5
  when :R
    x += hexagon_wide_width * 0.5
end

Quando estiver trabalhando com hexágonos, trate o centro das faces como primário e os vértices como secundário.

Ir de coordenadas hexagonais (u, v) para coordenadas do mundo (x, y) foi uma multiplicação de matriz. Para ir de coordenadas do mundo de volta para hexágonos, você pode resolver a equação para (u, v). Eu vou pular a álgebra; aqui está o resultado:

u = x / hexagon_narrow_width
v = y / hexagon_height - u * 0.5

Isto funciona se você começar com (x, y) no centro de uma face. Se você tiver arbitrariamente (x, y) é um pouco mais trabalhoso. A maneira mais simples(porém não mais eficiente) é de considerar o calculado (u, v) mais todos os vizinhos e determinar qual é o mais próximo da dada coordenada do mundo. Esta abordagem funciona com qualquer um dos três tipos de grades. Se você estiver utilizando esta forma para seleção por mouse, está é bastante rápida. Pode ser melhorada mais ainda ao se ter mais atenção com os polígonos.

Triângulos

Triângulos são quadrados distorcidos e divididos. Converter as vértices de um triângulo das coordenadas da grade para coordenadas do mundo simplesmente envolve multiplicá-las pelos vetores do eixo, assim como as coordenadas da face do hexágono:

⎛ x ⎞     ⎡ ix jx ⎤ ⎛ u ⎞
⎝ y ⎠  =  ⎣ iy jy ⎦ ⎝ v ⎠

Converter as coordenadas da face triangular para coordenadas do mundo é fácil, envolve um ajuste. O “L” do centro da face triangular é (0.25*i, 0.25*j) do vértice inferior esquerdo. O “R” do centro da face triangular é (0.75*i, 0.75*j) do vértice inferior esquerdo.

Para converter de coordenadas do mundo para vértices do triângulo é fácil. Esclareça para (u, v) usando álgebra. Para determinar qual face o ponto do mundo está, considere a borda que está dividindo os dois triângulos dentro do quadrado retorcido; esta borda é rotulada “E”. Se o seu ponto é à esquerda desta linha, o ponto está na face “L”; se estiver na direita, o ponto está na face “R”. Acredito que seja “R” quando frac(u) + frac(v) >= 0.5.

Quando trabalhar com triângulos, trate as vértices como primárias, e o centro das faces como secundário. Este é o oposto de como tratamos os hexágonos.

Os pensamentos de Amit sobre Grades [Parte 5: Relação entre as Partes da Grade]

Dadas cada uma das 3 partes da grade, nós podemos definir relações com 3 partes da grade, nos dando 9 relações. Há mais relações que você pode definir, porém irei me focar nestas 9. Eu não sei o nome destas relações, portanto eu dei-lhes alguns nomes.

Parte A (preto)	Parte B (vermelho)
	Face	Borda	Vértice
Face	Vizinhos:	Fronteiras:	Cantos:
Borda	Juntam-se:	Continua:	Pontos Finais:
Vértice	Toca:	Sobressai:	Adjacentes:

Em seus jogos você poderá utilizar variantes dos que precede. Por exemplo, as relações vizinhos e adjacentes poderiam incluir diagonais. A relação continua poderia incluir bordas que não são colineares com a borda original. Eu escolhi as relações mais simples.

Algoritmos

Cada uma dessas 9 relações pode ser expressa em algoritmos de A para uma lista de Bs; eu os escrevi como A → B1 B2 B3… . Há 3 formas, então isto nos da 27 algoritmos em potencial, expressos aqui de uma forma simples que possa ser traduzida em sua linguagem de programação favorita. Para algumas formas e algoritmos há algumas variantes de A, então eu listarei as regras para cada variante. Por exemplo, faces triangulares vêm nas variantes L e R. Aqui estão todos os algoritmos:

Relação	Forma
	Quadrado	Hexágono	Triângulo
Vizinhos:	(u,v) → (u,v+1) (u+1,v) (u,v-1), (u-1,v)	(u,v) → (u,v+1) (u+1,v) (u+1,v-1) (u,v-1) (u-1,v) (u-1,v+1)	(u,v,L) → (u,v,R) (u,v-1,R) (u-1,v,R)(u,v,R) → (u,v+1,L) (u+1,v,L) (u,v,L)
Fronteiras:	(u,v) → (u,v+1,S) (u+1,v,W) (u,v,S) (u,v,W)	(u,v) → (u,v,N) (u,v,E) (u+1,v-1,W) (u,v-1,N) (u-1,v,E) (u,v,W)	(u,v,L) → (u,v,E) (u,v,S) (u,v,W)(u,v,R) → (u,v+1,S) (u+1,v,W) (u,v,E)
Cantos:	(u,v) → (u+1,v+1) (u+1,v) (u,v) (u,v+1)	(u,v) → (u+1,v,L) (u,v,R) (u+1,v-1,L) (u-1,v,R) (u,v,L) (u-1,v+1,R)	(u,v,L) → (u,v+1) (u+1,v) (u,v)(u,v,R) → (u+1,v+1) (u+1,v) (u,v+1)
Juntam-se:	(u,v,W) → (u,v) (u-1,v)(u,v,S) → (u,v) (u,v-1)	(u,v,N) → (u,v+1) (u,v)(u,v,E) → (u+1,v) (u,v) (u,v,W) → (u,v) (u-1,v+1)	(u,v,S) → (u,v,L) (u,v-1,R)(u,v,E) → (u,v,R) (u,v,L) (u,v,W) → (u,v,L) (u-1,v,R)
Continua:	(u,v,W) → (u,v+1,W) (u,v-1,W)(u,v,S) → (u+1,v,S) (u-1,v,S)	Nenhuma borda continua reta em uma grade hexagonal	(u,v,W) → (u,v+1,W) (u,v-1,W)(u,v,E) → (u+1,v-1,E) (u-1,v+1,E) (u,v,S) → (u+1,v,S) (u-1,v,S)
Pontos Finais:	(u,v,W) → (u,v+1) (u,v)(u,v,S) → (u+1,v) (u,v)	(u,v,N) → (u+1,v,L) (u-1,v+1,R)(u,v,E) → (u,v,R) (u+1,v,L) (u,v,W) → (u-1,v+1,R) (u,v,L)	(u,v,W) → (u,v+1) (u,v)(u,v,E) → (u+1,v) (u,v+1) (u,v,S) → (u+1,v) (u,v)
Toca:	(u,v) → (u,v) (u,v-1) (u-1,v-1) (u-1,v)	(u,v,L) → (u,v) (u-1,v) (u-1,v+1)(u,v,R) → (u+1,v) (u+1,v-1) (u,v)	(u,v) → (u-1,v,R) (u,v,L) (u,v-1,R) (u,v-1,L) (u-1,v-1,R) (u-1,v,L)
Sobressai:	(u,v) → (u,v,W) (u,v,S) (u,v-1,W) (u-1,v,S)	(u,v,L) → (u,v,W) (u-1,v,E) (u-1,v,N)(u,v,R) → (u+1,v-1,N) (u+1,v-1,W) (u,v,E)	(u,v) → (u,v,W) (u,v,S) (u,v-1,E) (u,v-1,W) (u-1,v,S) (u-1,v,E)
Adjacente:	(u,v) → (u,v+1) (u+1,v) (u,v-1) (u-1,v)	(u,v,L) → (u-1,v+1,R) (u-1,v,R) (u-2,v+1,R)(u,v,R) → (u+2,v-1,L) (u+1,v-1,L) (u+1,v,L)	(u,v) → (u,v+1) (u+1,v) (u+1,v-1)(u,v-1) (u-1,v) (u-1,v+1)

Relações

(Sinta-se livre para pular esta seção.) As relações listadas a cima são elas mesmas relacionadas umas as outras. Por exemplo, fronteiras vão de faces para bordas, e é o inverso de juntam-se, que vai de bordas para faces. Se alguma borda B está na lista fronteiras de algum A, então A estará na lista juntam-se da borda B. Estas 9 relações podem ser destiladas em 6 relações matemáticas.

Se você tivesse um banco de dados, você poderia expressar as relações diretamente. Por exemplo, aqui está a relação entre faces e bordas de uma pequena grade quadrangular 1×2:

Face	Borda
0,0	0,0,S
0,0	0,0,W
0,0	0,1,S
0,0	1,0,W
1,0	1,0,S
1,0	1,0,W
1,0	1,1,S
1,0	2,0,W

Dada a relação, você pode olhar as coisas em cada coluna. Por exemplo, com a tabela a cima, procurando Face==(0, 0) resulta em 4 bordas, que é o que a relação fronteiras expressa. Procurando Borda==(1, 0, W), resulta em 2 faces, que é o que a relação juntam-se expressa. Uma relação é mais geral, e permite que você olhe as coisas de várias maneiras; cada relação(e algoritmo) é uma expressão de uma maneira particular de olhar as coisas.

Dadas 6 relações, deveria então existir 12 relacionamentos. Por que só temos 9? Porque as relações Face/ Face, Borda/ Borda, e Vértice/ Vértice são simétricas então olhando as coisas de outras maneiras produz mesmo resultado. Logo, 3 dos 12 relacionamentos são redundantes, o que nos deixa com 9.

Implementação

Todos os algoritmos são diretos. Como você poderia implementá-los então? Você primeiro irá escolher estruturas de dados para cada um dos três tipos de sistemas de coordenadas. Eu recomendo deixar bem simples e transparente. Todos os sistemas de coordenadas que utilizei possuem um inteiro “u” e um inteiro “v”, e alguns deles tem anotações como “L” ou “W”. Para a estrutura, em Ruby use uma classe com attrs públicas; em Lisp use uma lista; em C use uma struct; em Java use uma classe com campos públicos; em Python use um simples objeto ou dict. Para as anotações, em Ruby ou Lisp use símbolos(‘L ou :L); em C, use caracteres(‘L’) ou uma enumeração (L); em Java, use caracteres; em Python, use strings com um caractere.

O próximo passo é implementar os algoritmos que você precisa. A coisa mais simples a se fazer é escrever funções(ou métodos) que tomem A e retornem uma lista de B. Se houverem múltiplas variantes de A, use uma afirmação switch/case para ramificar para as anotações. Esta é a abordagem mais simples, mas não é a mais rápida. Para tornar as coisas mais rápidas, seu caller deve pré-alocar a lista, ou você pode prover um callback que estejam inline(inglês)(por exemplo, objetos funções STL em C++). Em algumas situações você irá querer procurar o máximo de As ao mesmo tempo então você poderá providenciar um algoritmo que funcione com listas de A que produzam listas de listas de B.

Eu geralmente evito dar implementações, porque elas são muito específicas para cada jogo, mas darei um exemplo da forma do Triângulo em Ruby. Eu escolhi usar uma lista como minha estrutura básica de dados. E eu usei os símbolos em Ruby(como :L) para anotações.

Algoritmo	Código Ruby
(u,v,L) → (u,v+1) (u+1,v) (u,v)(u,v,R) → (u+1,v+1) (u+1,v) (u,v+1)	def corners(face) u, v, side = face case side when :L [[u, v+1], [u+1, v], [u, v]] when :R [[u+1, v+1], [u+1, v], [u, v+1]] end end

É simples. Cada variante se torna um caso dentro da afirmação “case”.

Os pensamentos de Amit sobre Grades [Parte 4: Sistema de Coordenadas]

Existem três partes da grade, e nós precisamos de uma maneira para endereçar cada uma delas. Eu vou começar com simples coordenadas numéricas que corresponda aos eixos da grade. A soma F, E, V no diz quantas partes da grade compartilham as mesmas coordenadas. Se mais de uma parte possuir a mesma coordenada, utilizarei uma letra maiúscula para retirar a ambiguidade.

Grades Quadrangulares

         

Figura 1: Sistema de coordenadas da grade quadrangular: faces, bordas, e vértices

Grades quadrangulares são bem fáceis. Veja o primeiro diagrama na Figura 1 para o padrão do sistema de coordenadas para as faces. A soma F, E, V é 1, 2, 1. Isso significa que só as bordas precisarão de uma letra para retirar a ambiguidade. Para cada face, nós (arbitrariamente) atribuímos uma vértice para compartilhar sua coordenada. Eu escolhi o canto sudoeste da face. Compare o diagrama de face e o diagrama de vértice para ver como as coordenadas são relacionadas. Para cada face nós atribuímos duas bordas para dividir sua coordenada. Eu escolhi as bordas do sul e oeste e anotei as coordenadas com as letras s(Sul/ South) e w(Oeste/ West).  Compare o diagrama de face com o diagrama de bordas para ver como são relacionados. Há uma face, duas bordas, e uma vértice que compartilha a coordenada (1, 1). Isto corresponde a nossa soma F, E, V de 1, 2, 1.

Grades Hexagonais

         

Figura 2: Sistema de coordenadas da grade hexagonal: faces, bordas, e vértices

Nós criamos a grade hexagonal de uma grade quadrangular. As coordenadas da face de um hexágono podem ser as mesmas coordenadas da face do quadrado que foi transformado em hexágono. Compare a Figura 1 com a Figura 2 e você verá como a coordenada das faces são relacionadas. Para cada face nós escolhemos três bordas e dois vértices para compartilhares a mesma coordenada. Eu escolhi as bordas NW, N, e NE e as rotulei W, N, E. Eu escolhi os vértices mais a esquerda e a mais a direita e os rotulei L, R. Muitas outras atribuições são possíveis.

Grades Triangulares

         

Figura 3: Sistema de coordenadas da grade triangular: faces, bordas e vértices

Nós criamos a grade triangular de uma grade quadrangular, e nós dividimos cada quadrado distorcido em dois triângulos. Isso significa que cada coordenada de uma face quadrangular agora terá que ser duas coordenadas de faces triangulares. Eu escolhi rotulá-los L e R, como visto na Figura 3. As bordas são as mesmas daquelas dos quadrados(W e S), exceto que nós agora temos uma borda adicional, criada a partir da divisão da face quadrangular em duas, e eu rotulei esta borda de E. O triângulo extra não cria nenhum vértice adicional, logo a rotulação dos vértices permanece a mesma da rotulação da grade quadrangular.

Os pensamentos de Amit sobre Grades [Parte 3: Derivação de Grades Hexagonais e Triangulares]

Grades hexagonais e triangulares podem ser derivadas de grades quadrangulares. (Tente mudar o ângulo neste demo em Flash(inglês).) Tendo em vista que o sistema de coordenadas para quadrados é direto, a derivação nos guiará no planejamento de um sistema de coordenadas para hexágonos e triângulos. Quadrados para Hexágonos Há dois passos necessários para tornar uma grade quadrangular numa grade hexagonal. Primeiro, nós devemos compensar as colunas(ou fileiras). Segundo, nós dividimos a metade das bordas e juntamos elas no meio.

       

Figura 1: Grade Quadrangular, aproximações do resultado

Há duas maneiras simples de compensar colunas. A mais comum é compensar de uma em uma coluna(veja na primeira grade da Figura 1). Programar utilizando esta abordagem nota-se se a coluna é par ou impar e escolhe-se quando compensa-la. Uma abordagem mais simples é compensar cada coluna pela metade a mais do que a coluna anterior(veja a segunda grade da Figura 1). Programar usando essa abordagem é mais uniforme, mas o formato do mapa deixa de ser retangular, o que pode ser inconveniente. Nestas páginas trabalharei com a última abordagem; é mais fácil e também pode ser facilmente utilizada com triângulos.(Em uma futura versão desta página eu poderei cobrir as duas versões.)

Figura 2: Alargando quadrados em hexágonos

Com qualquer abordagem de compensação, o próximo passo é dividir as bordas verticais dos quadrados e dobra-las, como visto na Figura 2. Quando a dobra é reduzida de 180 graus para 120 graus, você terá hexágonos simétricos. Observe que dividindo as bordas verticais nós aumentamos o número de bordas de 4 para 6(um aumento líquido de 1 borda por face, já que as duas novas bordas são compartilhadas por duas faces). Nós também aumentamos o número de vértices de 4 para 6(mas estas vértices são compartilhadas, deixando-nos com um aumento líquido de 1 vértice), e nós deixamos o número de faces inalterado. Isto corresponde o que esperávamos da soma F, E, V indo de 1, 2, 1 para 1, 3, 2.

Quadrados para Triângulo

     

Figura 3: Deformando quadrados em losangos, então subdividindo-os

Há dois passos necessários para tornar uma grade quadrangular numa grade triangular. Primeiro, devemos deformar os quadrados, o que é similar ao que fizemos aos hexágonos, exceto que nós inclinamos as bordas ao invés de dividi-las. Isto nos da uma grade losangular(veja Figura 3), que compartilha características com a grade quadrangular. Então nós dividimos cara face losangular em dois triângulos. Dividindo cada face significa que agora nós temos o dobro de faces que tínhamos antes, nós adicionamos uma borda para cada face, e nós não adicionamos nenhuma vértice. Isto corresponde o que esperávamos da soma F, E, V indo de 1, 2, 1 para 2, 3, 1.

Os pensamentos de Amit sobre Grades [Parte 2: Partes de uma Grade]

Figura 1: Partes da Grade

Grades possuem três tipos de partes: Faces(face(tiles)), bordas(edge) e vértices(vertices). Cada face é uma superfície bidimensional fechada por bordas. Cada borda é um seguimento de linha unidimensional terminando em uma vértice. Cada “vertex” é um ponto adimensional. É comum nós jogos se focar em somente uma destas tipos de partes. Jogos “ocidentais” como Xadrez e Gamão parecem focar nas faces, e jogos “orientais” como Go e o Gamão Chinês parecem focar-se nas vértices. Há alguns jogos como a Roleta que atribuem sentidos à todos os três tipos de partes nas grades.

Faces, bordas, e vértices aparecem em mapas poligonais também. Algoritmos que funcionam em faces, bordas e vértices de sem exigir a coordenada das grades funcionarão nestes mapas poligonais:

Figura 1b: Partes da Grade com polígonos

Grades e mapas poligonais podem ser convertidos em estruturas gráficas ao tornar cada face em um nó e cada borda entre faces em numa borda gráfica entre nós. A estrutura gráfica permite o uso de algoritmos gráficos(como o de menor caminho) no mapa grade.

Usos nos jogos

Jogos de computador podem utilizar todos os tipos de partes da grade, mas a face é o mais comum. Construções, tipos de terrenos(grama, deserto, cascalho, etc…), e o domínio de território também usam a face. A borda dos territórios e os algoritmos de “fluxo”(que simula o fluxo da água, pessoas, bens, etc., entre faces adjacentes) podem utilizar bordas. Elevações(altitude, profundidade d’água) usam vértices. Ruas e ferrovias podem ou usar faces(como em SimCity) ou bordas(como visto em Locomotion; veja meu miniaplicativo em java demonstrando isso(inglês)).

Contando as partes

Nós podemos contar quantas faces, bordas, e vértices são necessárias para formar uma grade. A abordagem é olhar a adjacência e o compartilhamento. Considere uma grade triangular(veja Figura 1). Cada triângulo tem 3 bordas. Logo, esperamos 3 vezes mais bordas do que faces. No entanto, cada borda é compartilhada por 2 faces, então temos 3 bordas para cada 2 faces. Cada face de um triângulo tem 3 vértices(pontas). Cada vértice é compartilhada por 6 faces. Portanto nós temos 3 vértices para cada 6 faces, ou 1 vértice para cada 2 faces. Estas relações serão importantes quando estivermos planejando nosso sistema de coordenadas. Quadrados tem um número de faces igual ao de vértices. Hexágonos tem mais vértices que faces. Triângulos tem mais faces do que vértices. Há sempre mais bordas do que faces ou vértices.

Forma	Faces (F)	Bordas (E)	Vértices (V)
quadrado	1	2	1
hexágono	1	3	2
triângulo	2	3	1

Vamos chamá-los de soma F, E, V. O F, E, V de quadrados é 1, 2, 1; de hexágonos é 1, 3, 2; triângulos 2, 3, 1. Perceba que grades hexagonais e triangulares possuem somas similares, exceto a soma de vértices e faces que é trocada. Isto porque grades hexagonais e grades triangulares são duais: se você colocar um vértice no centro de cada face de uma grade triangular, você terá uma grade hexagonal, e vice versa. Grades quadrangulares são duais e si mesmas. Se você colocar uma vértice no centro de cada quadrado, você produzirá uma outra grade quadrangular, deslocada da primeira. Leia mais sobre duais na wikipedia(inglês).

Os pensamentos de Amit sobre Grades [Parte 1: Introdução]

Este é o primeiro artigo de uma série escrita inicialmente na língua inglesa por Amit, em eu site que visa os conceitos e algoritmos utilizados no desenvolvimento de jogos digitais. Estes artigos estão sendo traduzidos por mim, apecoder1, para o português brasileiro, e serão postados aqui por partes, tendo em vista o tamanho do conteúdo exposto no site de Amit.

Link para o tópico original.

http://www-cs-students.stanford.edu/~amitp/game-programming/grids/

Grades são comumente utilizadas em jogos para representar as áreas jogáveis como mapas (em jogos como Civilization e Warcraft), superfícies jogáveis (em jogos como sinuca, tênis de mesa, e pôquer), campos jogáveis (em jogos como basquete e futebol), tabuleiros (em jogos como Xadrez, Banco Imobiliário, e Lig 4), e espaços abstratos (em jogos como o Tetris). Eu* tentei reunir meus pensamentos sobre Grades aqui nestas páginas. Eu evitarei detalhes da implementação (como código fonte), ao invés disso, focarei nos conceitos e algoritmos. Eu utilizei grades, em maior parte, para representar mapas em jogos de estratégia e simulação. Embora muitos dos conceitos sejam úteis para todos os tipos de grades, há uma tendência em relação aos dos tipos de jogos com os quais me interesso.

Grades são construídas da repetição de formas simples. Eu cobrirei quadrados, hexágonos e triângulos; vértices, arestas e faces (tiles); sistema de coordenadas; e algoritmos para trabalhar com as grades. Os impacientes devem pular para o sistema de coordenadas. Eu também tenho um guia para grades hexagonais com algoritmos mais específicos à hexágonos.

Quadrados

Figura 1: Grade Quadrangular

A grade mais comum é a grade quadrangular. É simples, fácil de se trabalhar, e mapeia bem numa tela de computador. Grades quadrangulares são as mais comumente utilizadas em jogos, primeiramente porque são fáceis de se usar. Localidades podem utilizar o plano cartesiano (X, Y) e os eixos são ortogonais. O sistema de coordenada quadrangular é igual, mesmo se os seus mapas quadrangulares forem alinhados na tela numa projeção isométrica ou axonométrica.

Hexágonos

Figura 2: Grade Hexagonal

Hexágonos tem sido utilizados em alguns jogos de tabuleiro e de computador menos destorção de distância que as grades quadrangulares. Isso é em parte devido ao fato de que cada hexágono tem mais vizinhos não diagonais do que um quadrado.  (Diagonais destorce a distância da grade.) Hexágonos tem uma aparência mais agradável e ocorrem na natureza (por exemplo, favos de mel). Neste artigo utilizarei hexágonos que possuem topos planos e laterais pontiagudas, mas a matemática funciona da mesma forma se você desejar utilizar topos pontiagudos e laterais planas. Eu também tenho um guia mais compreensível que cobre a compensação das coordenadas, coordenada axial, coordenadas cúbicas, topos planos, topos pontiagudos, e muito mais algoritmos.

Triângulos

Figura 3: Grade Triangular

Triângulos são comuns em gráficos 3D, mas são raramente utilizados para mapas de jogos. Uma grande desvantagem de mapas triangulares, deixando de lado a falta de familiaridade, é o grande perímetro e a pequena área (o oposto de um hexagonal). A área pequena significa que é difícil colocar as peças do jogo completamente em um único espaço do mapa. Em gráficos 3D, triângulos são a única forma que são planos; quadrados e hexágonos não podem ser “dobrados”, alguma vezes de maneira impossível. Neste artigo utilizarei triângulos apontando para cima e para baixo, mas a matemática é a mesma se você apontar seus triângulos para a esquerda e para a direita.

*

Eu – Amit, escritor de todo o conteúdo original em inglês.

Notas do Tradutor:

Esta é a primeira parte do artigo “Amit’s Thoughts on Grids”, existem muitos links que estão faltando, os marquei em vermelho para futuras atualizações, mas por enquanto é isso. Espero que gostem. A continuação sairá em breve.